Наиболее вероятное число. Примеры заданий и калькулятор
Напомним, что мы рассматриваем типичные проблемы схемы Бернулли (или независимые повторные тесты). Большинство из этих головоломок связаны с обнаружением вероятности того, что действие будет происходить в течение некоторого времени в серии экспериментов (см. Раздел «Устранение неисправностей», «Лотерейные билеты», «Шахматные игры» или «Рождение детей»). Но другая распространенная проблема, с которой часто сталкиваются, - это то, где необходимо рассчитать максимально возможное количество входящих действий.
Расчет этого значения имеет огромное фактическое значение, что просто видно из постановки задачи:
1. 100 коробок хрупких товаров были отправлены с завода. Возможность повреждения ящика методами составляет 0,01. Какое больше возможного количества искаженных ящиков на станции погрузки и разгрузки?
2. Вероятность того, что лампа не сломалась, составляет 0,97. Для ресторана они купили 124 лампы. Какое возможное количество работающих ламп?
Естественно, что в нынешней жизни эти задачи формулируются сложнее и решаются по другим правилам, но для образовательных целей мы анализируем простые случаи. Обратимся к формуле, для которой мы снова определим общую постановку задачи:
Пусть проведено $ n $ экспериментов, вероятность действия $ A $ в любом из них равномерна - $ p $. Тогда наиболее вероятное число $ m $ адвентеров $ A $ в этой серии экспериментов можно найти по формуле: $$ np-q lem le np p, quad q = 1-p. qquad (1) $$
Часто, найдя наибольшее количество успехов, мы должны рассчитать возможность вывода именно этого числа, для которого мы используем обычную формулу Бернулли:
$$ P_n (m) = C_n ^ m cdot p ^ m cdot q ^
Видеоурок и шаблон Excel
Посмотрите наши лучшие видеофильмы по решению проблем, узнайте, как использовать Excel для решения типичных проблем.
Файл компиляции Excel Excel можно скачать бесплатно и использовать для решения ваших собственных проблем.
Примеры решения задач с более высоким значением
Мы рассмотрим некоторые типичные примеры.
Пример 1 Способность создавать более качественный продукт в этой компании составляет 0,8. Какое наиболее вероятное количество продуктов наивысшего типа в случае выбранной партии из 100 продуктов?
Мы выписываем точные значения $ n = 100, p = 0,8 $ и подставляем в формулу (1): $$ 100 cdot 0.8 - 0.2 le m le 100 cdot 0.8 0.8, \ 79, 8 le m le 80,8, \ m = 80. $$ Наиболее вероятное количество товаров наивысшего типа в случае выбранной партии из 100 товаров - 80 товаров.
Пример 2. Шанс выиграть один лотерейный билет - 0,2. Было куплено 12 билетов. Узнайте наиболее вероятное количество выигранных вами билетов и возможность.
Всего $ n = $ 12 купленных билетов, возможность выиграть любой $ p = $ 0.2. Мы получаем следующую формулу (1): $$ 12 cdot 0.2 - 0.8 le m le 12 cdot 0.2 0.2, \ 1.6 le m le 2.6, \ m = 2. $$ Количество успешных билетов равно двум. Мы находим возможность этого действия по формуле Бернулли (2): $$ P_ <12> (2) = C_ <12> ^ 2 cdot 0,2 ^ <2> cdot 0.8 ^ <10> = 66cdot 0.2 ^ { } cdot 0, 8 ^ <2> = 0,283. $$ <10>
Пример 3 Для этого баскетболиста возможность забить мяч одним броском - 0,6. Сделано 10 выстрелов в корзину. Определите наиболее вероятное количество попаданий и соответствующую возможность.
Атлет делает $ n = $ 10 независимых бросков, возможность забить мяч с любым $ p = $ 0,6. Мы помещаем все в формулу (1): $$ 10 cdot 0.6 - 0.4 le m le 10 cdot 0.6 0.6, \ 5.6 le m le 6. 6, \ m = 6. $$ Больше количества попаданий 6. Найдите возможность этого действия для формулы Бернулли (2): $$ P_(6) = C_ <10> ^ 6 cdot 0.6 ^ <10> cdot 0.4 ^ <6> = 210 cdot 0. 6 ^ <4> cdot 0, 4 ^ <6> = 0,251. $$ <4>
Пример 4 Сколько раз вам нужно бросить штамп, чтобы наиболее вероятная потеря 6 очков составила 50?
Это несколько иная формулировка проблемы, хотя она также говорит о более выполнимом числе. В отличие от вышеизложенного, $ m = $ 50, $ p = 1/6 $ (возможно, 6 точек на куб) уже установлены, но общее количество бросков $ n $ должно быть найдено.Начнем с формулы (1), разделим ее на два неравенства и получим из любого выражения для $ n $:
$$ np-q le m, quad m np p, $$ $$ np le mq, quad np ge mp, $$ $$ n le (mq) / p, quad n ge (mp) / p. $$
Заменить наши значения
$$ n le (50 5/6) / (1/6), четырехугольник (50-1 / 6) / (1/6), $$ $$ n le 305, четырехугольник 299. $$
Этот вид требует бросать кости от 299 до 305 раз.